A estrutura fractal de osciladores harmônicos na música: concerto de ano novo: JS.Bach. Concertos de Brandemburgo.

A análise da estrutura de diferentes obras musicais mostrou que a seleção das notas feitas por diferentes compositores, em diferentes momentos, possui alguns elementos em comum. Este é um dos Concertos de Brandenburgo de Bach, do Quarteto de Cordas nº 3 de Babbit, de obras para piano de Scott Joplin; todas essas obras têm a mesma forma se a estrutura for considerada em termos de frequências. Vamos explicar isso abaixo.

Na análise auditiva de várias obras musicais, uma quantidade que foi estudada é o poder de áudio da música. Essa quantidade é, em essência, a energia que é emitida sob a forma de ondas sonoras a cada segundo, quando o trabalho musical é realizado. Ao analisar como essa quantidade é estruturada, em termos de frequência, obtém-se o que se chama espectro.

Como os espectros das diferentes obras musicais dependem da frequência?

Análises feitas de diferentes obras musicais mostraram que seus espectros dependem da frequência, que chamaremos com a letra f, como (1 / f). Se lembrarmos do que foi analisado no capítulo anterior, veremos que esse espectro é uma lei de potência que, em linguagem matemática, depende da frequência inversa à primeira potência de f (desde o expoente de f em (1). / f) é 1). Portanto, como já descrito, esse espectro é auto-similar e, consequentemente, contém uma estrutura fractal.

Um espectro do tipo mencionado no parágrafo anterior é chamado espectro rosa.

Por que Bach e muitos outros compositores escolheram o espectro rosa? A realidade é que nenhum músico já ouviu falar dessas idéias, muito menos as escolheu deliberadamente. Para entender o que acontece, explicaremos como a música seria feita com outro tipo de espectro.

Uma maneira seria a seguinte: cada nota escrita é tal que sua posição e duração não dependem das notas anteriores ou de sua duração. Neste caso, diz-se que a composição é completamente aleatória ou estocástica. Um exemplo desse tipo de música é apresentado na Figura 33 (a). O espectro da potência de áudio desse tipo de música é o mesmo para qualquer valor de frequência, o que significa que o valor da potência é o mesmo para qualquer valor de frequência, ou seja, é uma quantidade constante. Matematicamente, o espectro depende da frequência (1 / f0), pois f0 = 1. Um espectro desse tipo é chamado de branco. Se esse tipo de música fosse tocada em um instrumento, nós a ouviríamos sem estrutura; Também daria a impressão de que de uma nota para outra sempre haveria uma surpresa.

Outro tipo de espectro, indo para o outro extremo, é aquele que depende da frequência (1 / f²), denominada marrom ou marrom, nome que foi dado por estar associado ao movimento browniano discutido no capítulo IV. A Figura 33 (b) mostra a música que possui o espectro marrom. Na música, cada nota e sua duração dependem em grande parte das notas anteriores. Portanto, a sensação que você tem ao ouvir é que, depois de tocar algumas notas, o seguinte é previsível.

Na figura: (a) Exemplo de música branca. (b) Exemplo de música marrom. (c) Exemplo de música rosa.

A música que possui um espectro rosa, ou seja (1 / f), está, por assim dizer, entre os casos de música aleatória (espectro branco) e música determinística (espectro marrom). Nesse caso, as notas e sua duração não são muito previsíveis nem muito surpreendentes. Um exemplo desse tipo de música é mostrado na Figura 33 (c).

Voltando à pergunta acima: por que os compositores usaram efetivamente espectros cor de rosa, isto é, uma lei de poderes (1 / f) para compor sua música?, Pode-se dizer que os compositores tentaram, e certamente muitos Eles conseguiram compor músicas interessantes. A questão deve ser levantada da seguinte forma: por que a música interessante tem um espectro rosa? A resposta pode ser que a música com esse tipo de espectro não é muito previsível (espectro marrom) nem muito surpreendente (espectro branco). O cientista holandês Balthazaar van de Pol disse uma vez que a música de Bach é ótima porque é inevitável e ao mesmo tempo surpreendente, o que significa que seu espectro é rosa.

Como a música que possui um espectro rosa é auto-similar, ela possui uma estrutura semelhante em diferentes escalas de frequência. O que acontece em uma escala de frequência deve ocorrer em qualquer outra escala de frequência. Se essa composição fosse gravada em fita magnética a uma certa velocidade e tocada em velocidades diferentes, o que seria ouvido seria semelhante ao que foi gravado. Isso contrasta com o que acontece com a voz humana, porque quando uma gravação é reproduzida a uma velocidade, por exemplo, o dobro do que deve ser feito, soa muito alto. Uma maneira de exibir auto-similaridade é com a ajuda de um dispositivo eletrônico que gera sons das frequências desejadas. Se for produzido um som com a superposição de 2 notas, cada nota sendo uma oitava (frequência dupla) da anterior e começa com uma nota de 10 Hertz (Hz), (1 hertz = 1Hz = 1 / s), As 11 notas a seguir seriam de frequências:

20 = 2 x 10, 40 = 4 x10, 80 = 8 x 10, 160 = 16 x 10,

320 = 32 x 10, 640 = 64 x 10, 1280 = 128 x 10,

2560 = 256 x 10, 5120 = 5l2 x 10, 10 240 = 1024 x 10 e

20 480 = 2 048 x 10, todos em unidades de Hz.

Agora, vamos alterar cada uma dessas notas por outras com frequências mais altas por um semitom (correspondente à diferença entre duas notas sucessivas de um piano); a frequência de semitons é obtida da nota anterior multiplicando por 1.05946. Agora, o som que é a superposição das seguintes frequências será reproduzido:

10 x 1, 0594 = 10, 6, 20 x 1, 05946 = 21, 2,

40 x 1, 05946 = 42, 38, 80 x 1, 05946 = 84, 76,

160 x 1, 05946 = 169, 51, 320 x 1, 05946 = 339, 03,

640 x 1, 05946 = 678, 06, 1 280 x 1, 05946 = 1356, 11,

2560x 1, 05946 = 2712, 22, 5120 x 1, 05946 = 5424, 44,

10240 x 1, 05946 = 10848, 88 e 20480 x 1, 05946 = 21697, 74 Hz

Este som será ouvido com um tom mais alto que o anterior.

Se a frequência de cada uma das notas for aumentada em um semitom novamente, a superposição dos novos sons produzirá um som de tom mais alto. Se o processo de aumentar cada um dos componentes do som em um semitom for repetido 12 vezes, acontece que o som produzido é indistinguível do original! Esta é uma demonstração musical de auto-similaridade.

Além disso, se tomarmos como referência os diagramas de tempo / espectro não audíveis, teremos que nas nuances> 20 Hz e superiores a 28.000 Hz, obteremos um logaritmo harmônico que é expresso como uma sucessão de eventos únicos e duplos. nos silêncios:

A chave para os osciladores harmônicos está na sucessão de silêncios ou cadeias de frequências do espectro não audível.

A combinação dos conceitos acima resulta nessa maravilha que oferecemos para receber o novo ano de 2011: